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04变换（模型、视图、投影）

2026-08-27
Games101

MVP变换

MVP变换用来描述视图变换的任务，即将虚拟世界中的三维物体映射（变换）到二维坐标中。

MVP变换分为三步：

  • 模型变换(model tranformation)：将模型空间转换到世界空间（找个好的地方，把所有人集合在一起，摆个pose）
  • 摄像机变换(view tranformation)：将世界空间转换到观察空间（找到一个放相机的位置，往某一个角度去看）
  • 投影变换(projection tranformation)：将观察空间转换到裁剪空间（茄子！）

在这之后，还有一个#视口变换

视图变换（View）

视图变换的目的是变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z，即

\begin{align}M_{view}&=R_{view}T_{view}\\ &=\begin{bmatrix} x_{\hat{g}\times\hat{t}}& y_{\hat{g}\times\hat{t}}& z_{\hat{g}\times\hat{t}}& 0\\ x_{t}& y_{t}& z_{t}& 0\\ x_{-g}& y_{g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 0& 0& -x_{e}\\ 0& 1& 0& -y_{c}\\ 0& 0& 1& -z_{c}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\end{align}

定义Camera：

  • Camera位置 \vec{e}
  • 观察方向 \hat{g}
  • 视点上方向 \hat{t}

规定：

  • Camera的y轴正方向向上，z轴方向是-\vec{x}\times\vec{y} （右手系）
  • 对物体进行运动，摄像机会跟随着一起运动保持相对位置不变。

变换Camera位置到原点，上方为Y，观察方向为-Z：

  1. 把 \vec{e} 移动到标准位置：T_{view}=\begin{bmatrix}1& 0& 0& -x_{e}\\ 0& 1& 0& -y_{c}\\ 0& 0& 1& -z_{c}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}（因为朝原点移动，所以为负）
  2. 旋转 \hat{g} 到**-Z**， \vec{t} 到Y，\hat{g}\times\vec{t}到X：R_{view}=\begin{bmatrix}x_{\hat{g}\times\hat{t}}& y_{\hat{g}\times\hat{t}}& z_{\hat{g}\times\hat{t}}& 0\\ x_{t}& y_{t}& z_{t}& 0\\x_{-g}& y_{g}& z_{-g}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}

推导：这个过程是旋转X到\hat{g}\times\hat{t}，Y到 \hat{t} ，Z到-\hat{g}的逆过程。所以 R_{view} 是这个逆过程的逆矩阵（正交矩阵的逆是转置矩阵）：

模型变换和视图变换经常被一起叫作模型视图变换（ModelView Translation）

投影变换（Projection）

投影变换分为两种：

  • 正交投影变换：透视线平行
  • 透视投影变换：透视线相交，近大远小

正交投影

\begin{align}M_{ortho}&=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& 0\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& 0\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1& 0& 0& -\frac{r+L}{2}\\ 0& 1& 0& -\frac{t+b}{2}\\ 0& 0& 1& -\frac{n+f}{2}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\end{align}

正交投影的核心：用一个立方体框住物体的[l,r]\times[b,t]\times[f,n]，把这个立方体变换到标准正方体[-1,1]^{3}中。

变换顺序：先移动（中点移动到原点），再缩放（基向量缩放比例为\frac{2}{长/宽/高} ）。

注意事项：

  • 右手系：n>f
  • OpenGl是左手系

透视投影

\begin{align}M_{per}&=M_{ortho}M_{persp\rightarrow -ortho}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l}& 0&\frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\end{align}

透视投影的核心：用“远平面”和“近平面”框住物体，先把“远平面”向“近平面“挤压，然后做一次正交投影。

即透视投影分为两步：

  • 将透视投影转化为正交投影

  • 将正交投影转换到正则立方体

研究挤压：

规定：

  • 挤压过程中，近平面和远平面的z值不发生变换（中间要发生变化）
  • 挤压过程中，远平面中心原点(x,y)^{T}不发生变化

挤压过程中的x,y变化的比例关系：

x同理。

y' = \frac{n}{z}y,~~x'=\frac{n}{z}x

用齐次坐标描述任一点的坐标变换：

\begin{align}\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}nx/z\\ ny/z\\ unknown\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{bmatrix}\end{align}

把这个变换用齐次坐标矩阵表示：

M(4\times 4)\begin{bmatrix}x\\ y\\ z\\ 1\end{bmatrix}==\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ z\cdot unkown\\ z\end{bmatrix}

根据矩阵乘法，可以写出M的大致形式：

M=\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ ?& ?& ?& ?\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}

代入上面提到的两种点：

  • 近平面或远平面上的任一点（令unknown=n,z=n）：M\begin{bmatrix}x\\ y\\ n\\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}nx\\ ny\\ n^{2}\\ n\end{bmatrix} 根据矩阵乘法行操作：M第三行\begin{bmatrix}x\\ y\\ n\\ 1\end{bmatrix}=n^{2} 因为不涉及旋转，所以第三行与x,y无关。\begin{bmatrix}0& 0& A& B\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\ y\\ n \\ 1\end{bmatrix}=n^{2} 即：An+B=n^{2}
  • 远平面的原点（令x=0,y=0,z=f）：\begin{bmatrix}0\\ 0\\ f\\ 1\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}0\\ 0\\ f^{2}\\ f\end{bmatrix} 同理可得：Af+B=f^{2}

综上所述，

A=n+f B=-nf

求得变换矩阵为：

M_{persp\rightarrow -ortho}=\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}

得到透视投影矩阵为：

\begin{align}M_{per}&=M_{ortho}M_{persp\rightarrow -ortho}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2}{r-l}& 0& 0& -\frac{r+l}{r-l}\\ 0& \frac{2}{t-b}& 0& -\frac{t+b}{t-b}\\ 0& 0& \frac{2}{n-f}& -\frac{n+f}{n-f}\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}n& 0& 0& 0\\ 0& n& 0& 0\\ 0& 0& n+f& -nf\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\\\\ &=\begin{bmatrix}\frac{2n}{r-l}& 0&\frac{l+r}{l-r}& 0\\ 0& \frac{2n}{t-b}& \frac{b+t}{b-t}& 0\\ 0& 0& \frac{f+n}{n-f}& \frac{2fn}{f-n}\\ 0& 0& 1& 0\end{bmatrix}\end{align}

视口变换

视口变换
将处于标准平面映射到屏幕分辨率范围之内，即[-1,1]^2->[0,width]*[0,height], 其中width和height指屏幕分辨率大小

视锥

视锥表示看起来像顶部切割后平行于底部的金字塔的实体形状。这是透视摄像机可以看到和渲染的区域的形状。

定义视锥：

  • 长宽比 Aspect
  • 垂直的角度 FovY

利用视锥得到物体长宽高：

屏幕（Screen）

  • 二维数组，数组元素为像素
  • 典型的光栅成像设备

光栅（Raster）

  • 德语中的屏幕
  • 画在屏幕上

像素（Pixel <- PIcture element）

  • 像素是一个颜色均匀的小正方形
  • 颜色混合而成（红、绿、蓝）

屏幕空间

认为屏幕左下角是原点，向右是x，向上是y

规定：

  • 像素坐标（Pixel's indices）是(x, y)形式，x, y都是整数。
  • 所有的像素都在(0, 0)到(width-1, height-1)之间
  • 像素的中心：(x+0.5, y+0.5)
  • 整个屏幕覆盖（0，0）to（width，height）

视口变换

要做的事情：
先不考虑z轴，把MVP后处于标准立方体[-1,1]^{3}映射到屏幕上。即

[-1, 1]^{2}\rightarrow [0,width]\times [0,height]

M_{viewport}=
\begin{bmatrix}\frac{width}{2}& 0& 0& \frac{width}{2}\\ 0& \frac{height}{2}& 0& \frac{height}{2}\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{bmatrix}

总结：把虚拟世界的任意可视物体转换到屏幕：

M=M_{view}M_{per}M_{cam}M_{model}

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